Efectos marginales no constantes
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Efectos marginales en modelos no lineales

En los modelos de elección discreta como Probit y Logit, los coeficientes estimados no representan directamente el efecto sobre la probabilidad de que ocurra el evento de interés. A diferencia del Modelo Lineal de Probabilidad (MPL), donde el efecto es constante, en estos modelos no lineales el efecto marginal varía según el nivel de la probabilidad predicha.

Esta característica fundamental surge de la naturaleza no lineal de las funciones de distribución acumulada que transforman el índice lineal en probabilidades. Mientras que en el MPL un cambio unitario en una variable explicativa produce siempre el mismo cambio en la probabilidad, en Probit y Logit este efecto depende del punto de la distribución donde nos encontremos.

Efectos marginales en Probit

Para el modelo Probit, donde \(P(y=1|\mathbf{x}) = \Phi(\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta})\), el efecto marginal de la variable \(x_j\) es:

$$\frac{\partial P(y=1|\mathbf{x})}{\partial x_j} = \phi(\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta}) \cdot \beta_j$$

donde \(\phi(\cdot)\) es la función de densidad de la Normal estándar y \(\Phi(\cdot)\) es su función de distribución acumulada.

Efectos marginales en Logit

Para el modelo Logit, donde \(P(y=1|\mathbf{x}) = \Lambda(\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta}) = \frac{e^{\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta}}}{1+e^{\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta}}}\), el efecto marginal es:

$$\frac{\partial P(y=1|\mathbf{x})}{\partial x_j} = \Lambda(\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta})[1-\Lambda(\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta})] \cdot \beta_j$$

donde \(\Lambda(\cdot)\) es la función de distribución acumulada logística.

Características fundamentales de los efectos marginales

  • No constancia: El efecto marginal no es constante sino que varía con el valor del índice lineal \(\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta}\).
  • Máximo en p=0.5: El efecto marginal alcanza su valor máximo cuando la probabilidad predicha es 0.5, es decir, cuando el resultado es más incierto.
  • Atenuación en extremos: Cuando la probabilidad se aproxima a 0 o 1, el efecto marginal se reduce progresivamente hasta casi anularse.
  • Forma de campana: La función del efecto marginal tiene forma de campana (distribución normal) para Probit y forma similar pero con colas más anchas para Logit.

AME vs MEM: dos formas de resumir

Dado que el efecto marginal varía punto a punto, necesitamos una medida resumen:

  • Efecto Marginal en la Media (MEM): Se evalúa en el individuo 'promedio', usando los valores medios de todas las covariables.
  • Efecto Marginal Promedio (AME): Se calcula el efecto marginal para cada observación y luego se promedia. Es la medida más recomendada porque refleja el efecto sobre individuos reales de la muestra.

Supuestos del modelo

  1. Especificación correcta: El índice lineal debe incluir todas las variables relevantes y estar correctamente especificado.
  2. Independencia: Las observaciones deben ser independientes entre sí.
  3. Distribución del error: En Probit se asume error normal, en Logit error logístico. Ambos son simétricos alrededor de cero.
  4. No multicolinealidad perfecta: Las variables explicativas no deben estar perfectamente correlacionadas.
  5. Muestra suficiente: Se necesita una muestra lo suficientemente grande para que las propiedades asintóticas se cumplan.

Parámetros de simulación

Coeficientes estimados

Efectos marginales

Interpretación econométrica