El modelo Tobit se utiliza para analizar variables dependientes continuas que están censuradas, típicamente en cero. Ejemplos comunes incluyen el gasto en seguros médicos, las horas trabajadas, o las donaciones benéficas, donde una fracción sustancial de la muestra presenta exactamente el valor cero debido a decisiones económicas genuinas, no a errores de medida.
El modelo parte de una variable latente no observada:
donde \(y_i^*\) representa la 'demanda óptima' o 'gasto deseado'. La regla de observación es:
Los símbolos representan: \(y_i\) es la variable observada (censurada), \(y_i^*\) es la variable latente continua, \(\mathbf{x}_i\) es el vector de regresores, \(\boldsymbol{\beta}\) son los coeficientes estructurales, \(u_i\) es el término de error normal, y \(\sigma\) es la desviación típica del error.
Los coeficientes \(\hat{\boldsymbol{\beta}}\) del Tobit miden efectos sobre la variable latente \(y^*\). Sin embargo, en aplicaciones prácticas interesa el efecto sobre la variable observada \(y\). McDonald y Moffitt (1980) demostraron que el efecto marginal sobre \(E[y|\mathbf{x}]\) se puede descomponer elegantemente:
donde \(z = \mathbf{x}'\boldsymbol{\beta}/\sigma\) y \(\Phi(\cdot)\) es la función de distribución normal estándar. Esta expresión indica que el efecto marginal sobre el valor esperado observado es el coeficiente \(\beta_j\) atenuado por la probabilidad de que la observación no esté censurada.
Adicionalmente, este efecto total se descompone en dos canales:
El **efecto extensivo** captura cómo un cambio en \(x_j\) altera la probabilidad de tener un valor positivo (margen extensivo: individuos que pasan de cero a positivo). El **efecto intensivo** captura cómo cambia el nivel esperado entre quienes ya tienen valores positivos (margen intensivo: cambio en la intensidad del gasto).
Estos supuestos son más restrictivos que en MCO porque el Tobit es un modelo de máxima verosimilitud que requiere especificación completa de la distribución.