El test de Hausman es el contraste fundamental para decidir entre el estimador de efectos fijos y el de efectos aleatorios en modelos de datos de panel. Esta decisión es crucial porque condiciona toda la inferencia estadística y la interpretación económica de los resultados.
Consideremos el modelo de panel general:
donde \(y_{it}\) es la variable dependiente del individuo \(i\) en el período \(t\), \(\mathbf{x}_{it}\) es el vector de regresores, \(\boldsymbol{\beta}\) es el vector de parámetros de interés, \(\alpha_i\) es el efecto individual no observado (constante en el tiempo), y \(\varepsilon_{it}\) es el error idiosincrásico.
La decisión entre efectos fijos y aleatorios depende de si el efecto individual \(\alpha_i\) está correlacionado con los regresores \(\mathbf{x}_{it}\). Si existe correlación, el estimador de efectos aleatorios es inconsistente por sesgo de variable omitida. Si no hay correlación, ambos estimadores son consistentes, pero efectos aleatorios es más eficiente.
El test de Hausman compara los estimadores de efectos fijos (\(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{EF}\)) y efectos aleatorios (\(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{EA}\)):
donde \(H\) es el estadístico de Hausman, \(\text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{EF})\) es la matriz de covarianza del estimador de efectos fijos, y \(\text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{EA})\) es la matriz de covarianza del estimador de efectos aleatorios.
Hipótesis nula (H₀): Los efectos individuales no están correlacionados con los regresores. Formalmente: \(\text{Cov}(\alpha_i, \mathbf{x}_{it}) = 0\). Bajo H₀, ambos estimadores son consistentes y el de efectos aleatorios es más eficiente.
Hipótesis alternativa (H₁): Los efectos individuales están correlacionados con los regresores. Formalmente: \(\text{Cov}(\alpha_i, \mathbf{x}_{it}) \neq 0\). Bajo H₁, solo el estimador de efectos fijos es consistente.
Bajo la hipótesis nula, el estadístico de Hausman sigue una distribución chi-cuadrado con \(k\) grados de libertad, donde \(k\) es el número de regresores que varían en el tiempo:
Si rechazamos H₀ (p-valor < α), concluimos que existe correlación entre los efectos individuales y los regresores, por lo que debemos usar efectos fijos. Si no rechazamos H₀ (p-valor ≥ α), no hay evidencia de correlación y podemos usar efectos aleatorios, que es más eficiente. En la práctica, la mayoría de aplicaciones microeconométricas rechazan H₀ porque la heterogeneidad no observada suele estar correlacionada con las variables explicativas.