El Modelo de Cox y los Riesgos Proporcionales
El modelo de Cox es un modelo semiparamétrico que permite analizar el tiempo hasta que ocurre un evento (supervivencia) sin necesidad de especificar completamente la distribución de los tiempos de supervivencia. Su flexibilidad radica en que especifica cómo las covariables afectan al riesgo instantáneo, pero deja libre la forma del riesgo base.
La función de riesgo proporcional
El modelo de Cox especifica la función de riesgo (hazard) como:
$$h(t|\mathbf{x}) = h_0(t) \cdot \exp(\mathbf{x}'\boldsymbol{\beta})$$
donde:
- h(t|x): función de riesgo condicional a las covariables
- h₀(t): función de riesgo base (cuando todas las covariables son cero)
- x: vector de covariables
- β: vector de coeficientes a estimar
- exp(x'β): multiplicador de riesgo que depende de las covariables
Interpretación: Hazard Ratios
Los coeficientes del modelo de Cox se interpretan mediante los hazard ratios (HR):
$$HR_j = \frac{h(t|x_j + 1)}{h(t|x_j)} = \exp(\beta_j)$$
Un HR > 1 indica que la covariable aumenta el riesgo instantáneo (acorta la duración esperada). Un HR < 1 indica que la covariable reduce el riesgo (alarga la duración). Un HR = 1 indica ausencia de efecto.
Supuestos del modelo
- Riesgos proporcionales: El cociente de riesgos entre dos individuos es constante en el tiempo. Este es el supuesto fundamental del modelo.
- Linealidad: El logaritmo del riesgo es una función lineal de las covariables.
- Independencia: Las observaciones son independientes entre sí.
- No interacción temporal: El efecto de las covariables no cambia con el tiempo (salvo que se modele explícitamente).
La violación del supuesto de proporcionalidad es la más problemática, ya que invalida la interpretación de los hazard ratios como constantes temporales.